Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc stanisław: Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej?Czy ktoś potrafi uzasadnić rozwiązanie tego zadania?

Arvir: u fakt ładne zadanko na to zapewne jest jakiś wzór i nauczyciel nie dał by go wam gdyby go nie podał wcześniej

.: 20?

Mila: Suma cyfr tej liczby jest równa 426 − zatem dzieli się przez 3 a nie dzieli się przez 9 , więc liczba nie może być kwadratem liczby naturalnej!

Eta: Usunęłam tę "wpadkę" Pozdrawiam Mila

Mila: To zadanie wcale nie jest takie banalne, już go kiedyś robiłam i stąd tak szybko znalam wynik. Pozdrawiam ETĘ.

Eta: @Mila liczba 27? (bo coś mi też nie pasuje

Eta: achhh ......... ma być dodatkowo parzysta! np: 36, 144 , czyli ok z

Mila: Nie rozumiem − suma cyfr nie zgadza się?

Eta: A np: 288 ?

Eta: W dalszym ciągu mi nie pasuje

Arvir: ej ale tam nie pisze ze się sumują kolejne liczby parzyste tylko że są pisane za sobą (np. 2 do 10 to liczba wygląda tak: 2468)

Mila: Napisz jak wygląda ta liczba:246810121416181..........100

Arvir: ja wymiękam

Mila: Eta − przykład 12300 − liczba ma sumę cyfr podzielną przez 3 ale nie dzieli się przez 9 zatem nie może być kwadratem jakiejs liczby.

Eta: A 288? −−− też nie jest kwadratem żadnej liczby, a dzieli się przez 3 i 9

Mila: Bo to, że dzieli się przez 9 jest tutaj warunkiem koniecznym ale nie wystarczającym. Podane zadanie może być rozwiązane przez negację, bo nie wyobrażam sobie jak udowodnić, że taka liczba jest kwadratem czegoś.

Basiek: Kurcze, trudne. WItajcie Ja doszłam do takiego wniosku, że liczba naturalna podniesiona do kwadratu może mieć ostatnią cyfrę ze zbioru A={0,1,4,5,6,9}, a dwa zera w przypadku, gdy nasza liczba ma postać X X X X X X....X 0² to załatwiam nam sprawę dwóch ostatnich zer, żeby, mieć postać ........98100, to liczba ta musi mieć postać XXXXXX....90 (czyli 9−tka jako pierwiastek naturalny 81) −> tu by się zgadzało, stąd wnioskuję, że wcześniejszą liczbę należałoby szukać w podobny sposób , póki co mamy postać XXXXX90 ² żeby w naszej licznie już spotęgowanej końcówka miała postać 698100, musielibyśmy znaleźć naturalny pierwiastek z liczby 69. A taki nie istnieje.

Vax: Ale Mila podała prawidłowy dowód

Eta: @Vax wytłumacz mi : a liczba 288 ?

Vax: Z tego, że liczba dzieląca się przez 3 i nie dzieląca się przez 9 nie jest kwadratem nie wynika, że liczba dzieląca się przez 9 musi być kwadratem.

stanisław: ...i właśnie mój problem z tym zadaniem,a właściwie z podanym w kilku miejscach na różnych portalach jego rozwiązaniem polega na tym,że nie rozumiem tego rozwiązania,które mówi,że gdyby ta liczba była podzielna przez 9 to oznaczałoby,że jest ona kwadratem innej liczby.Chodzi mi również i o to,że nie potrafię w sposób algebraiczny przeprowadzić taki dowód.Powiedzieć można dużo,ale czy zawsze mówione jest prawdziwe?Może ktoś umiałby w sposób jednoznaczny wykazać,(abstrachując już od tego niezbyt udanego zadania z próbnej matury operona 2009) związek podzielności danej liczby przez 9 od kwadratu innej.Chyba niezbyt precyzyjnie wyszło,ale rozumiemy o co chodzi... Dziękuję za wszystkie wypowiedzi w tym temacie.

Artur z miasta Neptuna: Basiek − a dlaczego przyjęłaś,że: szukana liczba 'n' (gdzie n² = a) jest pierwiastkiem kwadratowej jakiejś innej liczby? Wiemy tylko, że jest ona parzysta, podzielna przez 10

Artur z miasta Neptuna: dowód algebraiczny. Niech 'a' oznacza tą liczbę, a 's' suma cyfr liczby 'a'. s = (2+4+6+8)*10 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9)*5 + 1 = 426 Tw. ∃_n>0 a = n² 9 nie jest dzielnikiem 426 ⇒ 9 nie jest dzielnikiem 9 9 | (426 − 3) ⇒ 9 | (a − 3) ⇔ 9 | (n² − 3) 9 | (n−3)(n+3) ⇔ [3 | (n−3) ⋀ 3 | (n+3)] ⋁ [9 | (n−3) ⋀ 3 nie dzieli (n+3)] ⋁ [9 | (n+3) ⋀ 3 nie dzieli (n−3)] (1) [3 | (n−3) ⋀ 3 | (n+3)] ⇔ 3 | n ⇔ 9 | n²=a −−− sprzeczność (2) [9 | (n−3) ⋀ 3 nie dzieli (n+3)] ⇔ 3 nie dzieli 'n' ⋀ 3*3 | n−3 ⇔ 3 nie dzieli 'n' ⋀ 3|

	n
		− 1 −−− sprzeczność
	3

(3) analogicznie do (2). C.K.D.

Artur z miasta Neptuna: oczywiście powinno być: [...] 9 nie jest dzielnikiem 426 ⇒ 9 nie jest dzielnikiem a [...]

Artur z miasta Neptuna: jeszcze jedna uwaga do zapisów: przy (1), (2), (3) nie może być [...] ⇔ ..., musi być ⇒ co nie zmienia kierunku i logiki zawartej w dowodzie

Artur z miasta Neptun: ewentualnie (aby ładniej to wyglądało − chociaż średnio "ładniej to wygląda") ... w (2): 3*3|(n−3) ⇔∃_k≠0 3*3*k = n−3 ⇔ ∃_k≠0 3* (3k +1) = n ⇔ 3|n ⋁ 3|(n−1) −−− sprzeczne (3 nie dzieli 'n' ... skoro 3|(n−1) to 3 nie dzieli (n−3), więc 9 nie dzieli (n−3))

Artur z miasta Neptun: oczywiście kolejny błąd znalazłem... poprawny dowód: dowód algebraiczny. Niech 'a' oznacza tą liczbę, a 's' suma cyfr liczby 'a'. s = (2+4+6+8)*10 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9)*5 + 1 = 426 Tw. ∃n>Z a = n² 9 nie jest dzielnikiem 426 ⇒ 9 nie jest dzielnikiem a 9 | (426 − 3) ⇒ 9 | (a − 3) ⇔ 9 | (n² − 3) 9 | (n−√3)(n+√3) ⇒ n nie należy do Z sprzeczność C.K.D.